O golpe de Estado na República de Patropi e a origem do sistema GPS.
Em tempos terríveis la República Del Patropi foi tomada de assalto por um temido e cruel cafetão que através de um golpe chantageou as autoridades com gordas propinas e aniquilou todos seus concorrentes instituindo assim o monópolio sobre as putas del Patropi. Com esse golpe o terrível cafetão tornou-se o homem mais poderoso da cidade já que, como todos sabem, o mercado da putaria é a principal fonte de renda e subsistência da cidade. A partir de então, com mãos de ferro e garras de aço, o ditador passou a controlar todas as putas tendo em vista a total exploração das mesmas e nenhuma menina poderia trabalhar por conta própria. A puta que não prestasse contas ao cafetão era severamente punida sendo obrigada a trabalhar em lanchonetes fast-foods como atendentes com carga horária de 48 horas semanais ganhando salário minimo. Porém, com o passar do tempo, o cafetão passou a ter problemas com os bops que ousavam desafiá-lo. Alguns bops davam presentinhos para as garotas que não eram contabilizados como lucro além de mimarem as putas tornando-as mais rebeldes e desobedientes, outros, mais ousados, simplesmente fugiam com as putas desfalcando seu quadro de funcionárias fazendo com que perdesse os últimos fios de cabelo de sua lustrosa careca. Tendo em vista que estes "sequestros" eram cada vez mais frequentes o poderoso resolveu fazer uso da tecnologia colocando-a a serviço de sua tirania sem limites.
O irado cafetão contratou a peso de ouro os principais engenheiros e matemáticos de Patropi para que elaborassem um sistema de total controle sobre as putas. O cafetão tinha em mente controlar cada passo de suas putas por onde quer que elas estivessem.
A equipe de cientistas e técnicos comandados pelo Tricampeão após alguns meses de orgias e trabalho enfim entregaram ao tirano um projeto perfeito de controle. Trata-se de uma constelação de 24 satélites, orbitando em torno da Terra a uma altura aproximada de 20.000 Km acima do nível do mar, permitindo a receptores conhecer de uma puta em qualquer lugar sobre a Terra com uma notável precisão.
Bastaria, portanto, instalar um micro chip em cada puta permitindo o monitoramento pelo sistema.
Porém, uma falha de consistência lógica foi detectada pelo Sempre Alerta, um estagiário da equipe, impedindo assim que o projeto fosse aprovado pelo Tirano. Faltava provar um teorema, ponto central de todo sistema. Sempre Alerta foi recompensado pelo Tricampeão sendo promovido para secretário e encumbido de demonstrar tal terorema. Para que entendamos melhor o desafio segue a descrição detalhada do funcionamento do sistema:
Os 24 satélites trafegam em torno da Terra em seis órbitas estáveis e prederminadas com quatro satélites em cada órbita. Os satélites percorrem uma órbita completa a cada 12 horas e cada satélite tem 28 graus de visualização sobre a Terra. Isso assegura que todo ponto sa superfície terrestre, em qualquer instante, esteja visualizado por pelo menos 4 satélites. Várias áreas da Terra são, por alguns momentos, visualizados por até 10 satélites.
Todos os satélites são controlados pelas estações terrestrres de gerenciamento. Existe uma "estação master", localizada a 100 kilometros ao norte de Patropi, que, com o auxílio de cinco estações de gerenciamento espalhadas pelo planeta, monitoram o desempenho total do sistema, corrigindo as posições dos sastélites e reprogramando o sistema com o padrão necessário. Após o processamento de todos esses dados, as correções e sinais de controle são transferidos de volta para os satélites.
Mas daí vcs se perguntam: de que maneira esse sistema determina a localização de um ponto sobre a superfície da Terra?
Cada um dos satélites do sistema transmite por rádio um padrão fixado, que é recebido por um receptor na Terra, funcionando como um cronômetro extremamente acurado. O receptor mede a diferença entre o tempo que o padrão é recebido e o tempo que foi emitido. Essa diferença, não mais do que um décimo de segundo, permite que o receptor calcule a distância ao satélite emissor multiplicando-se a velocidade do sinal(aproximadamente a vel. da luz) pelo tempo que o sinal de rádio levou do satélite ao receptor.
Essa informação localiza uma pessoa sobre uma imaginária superfície esférica com centro no satélite e raio igual à distância acima calculada.
Cada satélite é programado para emitir o que se chama efeméride, que informa a posição exata da puta, naquele instante, em relação a um fixado sistema ortogonal de coordenadas. Tal posição é permanentemente rastreada e conferida pelas estações terrestres de gerenciamento. A unidade receptora processa esses sinais. Com a posição do satélite e a distância acima calculada obtém-se a chamada equação geral da imaginária superfície esférica.
Coletando-se sinais emitidos por 4 satélites, o receptor determina a posição do usuário calculando-a como intersecção as quatro superfícies esféricas obtidas. A localização é dada, não em coordenadas cartesianas, mas por meio das coordenadas geográficas (latitude, longitude e a elevação).
A precisão do tempo é essencial na operação do sistema. Um erro de um micro segundo (10^-6) no registro do lapso de tempo desde a transmissão até a sua recepção resulta num erro de 300 metros.
A superfície esférica em coordenadas cartesianas:
Seja um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas em 3 dimensões com origem O: dado um ponto P = (x,y,z) do espaço (localização da puta), uma dupla aplicação do teorema de Pitágoras mostra que a distância de O a P é expressa por
d(O,P) = Raiz quadrada de (x^2 + y^2 + z^2)
Mais geralmente, a distância entre os pontos P = (x,y,z) e C = (u,v,w) é dada por d(P,C) = Raiz quadrada de ( (x - u)^2 + (y - v)^2 + (z - w)^2).
Sendo r um número real positivo e C um ponto fixado, o conjunto dos pontos do espaço cuja distância a C é igual a r é chamado superfície esférica S de centro C e raio r. Se C = (u,v,w), então S é descrita como o conjunto dos pontos P = (x,y,z) tais que
(x - u)^2 + (y - v)^2 + (z - w)^2 = r^2 (1)
A eq. (1) é denominada eq. reduzida de S. Assim, por exemplo, (x + 1)^2 + (y - 2)^2 + z^2 = 4 é a eq. reduzida da superfície esférica de centro C = (-1,2,0) e raio r= raiz de 4 que é igual a 2.
Desenvolvendo os quadrados em (1), obtemos
x^2 + y^2 + z^2 - 2xu - 2yv - 2zw + u^2 + v^2 + w^2 - r^2 = 0 (2)
que é uma eq. da forma
x^2 + y^2 + z^2 + ax + by + cz + d = 0 (3)
onde a, b,c,d são números reais.
A eq. (2) é chamada equação geral de S. Assim, a superfície esférica de centro C = (-1,2,0) e raio 2 tem como equ. geral
x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 4y + 1 = 0
Sejam S e S´duas superfícies esféricas de centros distintos C e C´, respectivamente. Sendo r e r´, r maior ou igual a r´, seus respectivos raios, vemos que
S intersecção S´ vazio se e somente se d(O, O´) mairo que r + r´ou
d(O,O´) menor que r - r´.
S intersecção é um ponto se e somente se d(O,O´) = r + r´ou
d(O,O´) = r - r´.
S intersecção S´ é uma circunferência se e somente se r - r`menor que
d(O,O´) menor que r + r´.
Sendo assim faltava demonstrar o seguinte:
SE QUATRO SUPERFÍCIES ESFÉRICAS SE INTERSECTAM E SEUS PONTOS SÃO NÃO COPLANARES, ENTÃO ESSA INTESECÇÃO CONSISTE EM UM ÚNICO PONTO.
Teria Sempre Alerta conseguido fazer com que o projeto fosse finalmente aprovado pelo temível cafetão dando a ele total controle sobre as putas de Patropi, para desespero de todos????
